# Seminarieuppgifter 1 — Diskret matematik, del 1 *Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026* --- ## Problem 1 Beräkna följande summa : $1/9+24/17$ (svaret måste anges på formen $A/B$ där $A$ och $B$ är heltal och bråket har förkortats så långt som möjligt). **Lösning:** > > > > `[svar 1]` --- ## Problem 2 Beräkna summan $S=7/4+11/2$. Svaret måste ges i maximalt förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 3 Beräkna $S= \frac{\frac{1}{2} + \frac{8}{3}}{\frac{7}{2} + \frac{4}{9}}.$ Svaret måste ges i maximalt förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 4 Beräkna $S=9/2-5/6+8/5$. Svaret måste ges i maximalt förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 5 Beräkna $S=\frac{(-3)^{4}+(-1)^{3}+(-3)^{3}}{(-3)^{3}+(-2)^{4}}$. Svara i förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 6 Beräkna $S=\left(2+7/6\right)(13/6)$. Svara i förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 7 Beräkna $S= 1+\frac{3}{1+\frac{3}{1+ 6/7}}.$ Svara i förkortad form. **Lösning:** > > > > $S =$ `[svar 1]` --- ## Problem 8 Förkorta så långt som möjligt $264/45$. Skriv svaret på formen $G/H$ där $G$ och $H$ är positiva heltal. **Lösning:** > > > > $G =$ `[svar 1]` $H =$ `[svar 2]` --- ## Problem 9 Bestäm $\text{SGD\,}(34756,2468)$ med Euklides algoritm. Ange också de första två resterna $r_1>0$ och $r_2>0$ om vi börjar med $34756/2468$. **Lösning:** > > > > Svar: $\text{SGD\,}(34756,2468) =$ `[svar 1]`; $r_1=$ `[svar 2]`, $r_2=$ `[svar 3]`. --- ## Problem 10 Ange antalet postitiva heltalslösningar till ekvationen $17x + 6y = 250$ där $y$ ska vara ett udda tal. Ange också samtliga positiva heltalslösningar där $y$ är ett udda tal. **Lösning:** > > > > Svar: Antalet strikt postitiva heltalslösningar är `[svar 1]` där $y$ är udda; $(x,y) =$ `[svar 2]` (Svaret ska vara på formen t ex (1,5),(2,3) om det är två lösningar. Inget mellanslag får förekomma.) --- ## Problem 11 Skriv, för varje tal nedan, alla primtalsfaktorer i en kommaseparerad lista utan att upprepa en faktor (t ex talet 20 skrivs 2,5 och inte 2,2,5). **Lösning:** > > > > Primtalsfaktorerna av 39 utan multipla faktorer är `[svar 1]` Primtalsfaktorerna av 50 utan multipla faktorer är `[svar 2]` Primtalsfaktorerna av 118 utan multipla faktorer är `[svar 3]` Primtalsfaktorerna av 88 utan multipla faktorer är `[svar 4]` Primtalsfaktorerna av 108 utan multipla faktorer är `[svar 5]` Primtalsfaktorerna av 110 utan multipla faktorer är `[svar 6]` Primtalsfaktorerna av 34 utan multipla faktorer är `[svar 7]` Primtalsfaktorerna av 21 utan multipla faktorer är `[svar 8]` Primtalsfaktorerna av 44 utan multipla faktorer är `[svar 9]` --- ## Problem 12 Skriv uttrycket $\frac{7^{4}\cdot 49^{2}\cdot 7^{1/5}}{\sqrt[3]{7}\cdot 7^{5}\cdot 343^{2}}$ som en potens av $7$. Om svaret är $7^x$ så är **Lösning:** > > > > $x =$ `[svar 1]` --- ## Problem 13 Skriv uttrycket $\frac{3^{4}\cdot 3^{2}\cdot 3^{5}}{((3^{4})^{2})^5}$ som en potens av $3$. Om svaret är $3^x$ så är **Lösning:** > > > > $x =$ `[svar 1]` --- ## Problem 14 Skriv uttrycket $\sqrt{7^{1} 49^{2} \sqrt{7^{2}}}$ som en potens av $7$. Om svaret är $7^x$ så är **Lösning:** > > > > $x =$ `[svar 1]` --- ## Problem 15 Skriv uttrycket $\frac{3^{({2}^{3})}}{(9^{2})^3}$ som en potens av $3$. Om svaret är $3^x$ så är **Lösning:** > > > > $x =$ `[svar 1]` --- ## Problem 16 Förenkla uttrycket $\displaystyle\frac{x^2+14 xy+45 y^2}{x^2+11 xy+30 y^2}$ Svaret ska vara på formen $\frac{A}{B}$ och förkortas så långt som möjligt. **Lösning:** > > > > $A=$`[svar 1]` $B=$`[svar 2]` --- ## Problem 17 Förenkla uttrycket $\frac{x^2+8 x+16}{x^2+9 x+20}$ Svaret ska vara på formen $\frac{A}{B}$ och förkortas så långt som möjligt. **Lösning:** > > > > $A=$`[svar 1]` $B=$`[svar 2]` --- ## Problem 18 Skriv uttrycket $(1+4 \sqrt{10})^{3}$ på formen $K+L\sqrt{10}$, där $K$ och $L$ är heltal. **Lösning:** > > > > $K =$ `[svar 1]` $L =$ `[svar 2]` --- ## Problem 19 Skriv uttrycket $\frac{5\sqrt{10}-5\sqrt{7}}{2\sqrt{10}+6\sqrt{7}}$ på formen $K+L\sqrt{70}$, där $K$ och $L$ är rationella tal. Dina svar ska vara i bråkform. **Lösning:** > > > > $K =$ `[svar 1]` $L =$ `[svar 2]` --- ## Problem 20 Skriv om följande uttryck så att nämnaren inte innehåller något rotuttryck och bråket har förkortats så långt som möjligt. $-\frac{2}{5} > > > $A=$`[svar 1]` $B=$`[svar 2]` --- ## Problem 21 Vilket av följande tal är störst och vilket är minst? $A=\sqrt[3]{9} \quad B=3 \quad\mathrm{eller}\quad C=\sqrt[2]{7}$ ? Svara med bokstaven A, B eller C. **Lösning:** > > > > SVAR: Det största talet är `[svar 1]` SVAR: Det minsta talet är `[svar 2]` --- ## Problem 22 Vilket är det minsta heltal som är större än $\sqrt[4]{7}$? **Lösning:** > > > > `[svar 1]` --- ## Problem 23 Vilken rest erhålls då $7^{41}+17^{20}-6$ divideras med $8$? **Lösning:** > > > > `[svar 1]` --- ## Problem 24 För vilka heltal är $x^3+2x^2+x+4$ delbart med $7$? **Lösning:** > > > > Svar: $x=$ `[svar 1]` (mod $7$). Svaret ska vara på formen av en kommaseparerad lista (t ex 0,1,2,3,4) innehållandes det minimala antalet lösningar (mod $7$). Varje lösning ska representeras av det minsta icke-negativa överensstämmande heltalet. Lämna rutan tom om det inte finns något heltal. Observera (mod $7$) efter svarsrutan. Detta innebär att vi inte behöver fylla i oändligt många lösningar.