# Seminarieuppgifter 2 — Analys 1, del 1

*Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026*

---

## Problem 1

Beräkna $\cot\left(\frac{-31\pi }{6}\right)$. Svaret får innehålla rötter men inte trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 2

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\tan\left(x\right)=\sqrt{3}$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning:

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]` $\le$ `[svar 2]`

---

## Problem 3

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning:

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]` $\le$ `[svar 2]`

---

## Problem 4

Beräkna $\cot\left(\frac{\pi }{12}\right)$. Svaret får innehålla rötter men inte trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 5

Beräkna $\tan\left(\frac{\pi }{8}\right)$. Svaret får innehålla rötter men inte trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 6

Hur många lösningar har den trigonometriska ekvationen i det angivna intervallet?

$\cos\left(x\right)=\frac{1}{4}$
$\quad$

i

$\quad [ -2\pi {,}\, 3\pi ]$

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 7

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin^4x+\cos^4x=1$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`$\le$`[svar 4]`

---

## Problem 8

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin^2x-\cos^2x=1$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`

---

## Problem 9

Hur många lösningar har den trigonometriska ekvationen i det angivna intervallet?

$\sin\left(x\right)=1$
$\quad$

i

$\quad [ -4\pi {,}\, 4\pi ]$

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 10

Skriv om uttrycket $7 \sin(x)+12 \cos(x)$ på formen $C\sin(x+\phi)$ där $C\ge 0$ och $-\pi \le \phi \le \pi$. Svaret får innehålla arcusfunktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

$C =$ `[svar 1]`

$\phi =$ `[svar 2]`

---

## Problem 11

Skriv om uttrycket $4 \sin(x)+7 \cos(x)$ på formen $C\sin(x+\phi)$ där $C\ge 0$ och $-\pi \le \phi \le \pi$. Svaret får innehålla arcusfunktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

$C =$ `[svar 1]`

$\phi =$ `[svar 2]`

---

## Problem 12

Skriv $\tan^{2}\left(t\right)$ som en funktion av $\cos\left(t\right)$.

Svara med det polynom eller den rationella funktion $f(x)$ som har egenskapen att
$\tan^{2}\left(t\right) = f( \cos\left(t\right))$.

Exempel:

$\cos{(2t)}=2\cos^2{t}-1$.

Så $f(\cos{t})=2cos^2{t}-1$ och eftersom svaret skall vara på formen $f(x)$, ersätts $\cos{t}$ med $x$.

Så $f(x)=2x^2-1$

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

**Clicka för en ledtråd**

---

## Problem 13

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin\left(4x\right)=\cos\left(3x\right)$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`$\le$`[svar 4]`$\le$`[svar 5]`$\le$`[svar 6]`$\le$`[svar 7]`$\le$`[svar 8]`

---

## Problem 14

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\cot\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`

---

## Problem 15

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin^{4}\left(x\right)+\cos^{4}\left(x\right)=1$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`$\le$`[svar 4]`

---

## Problem 16

Skriv $\cot^{2}\left(t\right)$ som en funktion av $\sin\left(t\right)$.

Svara med det polynom eller den rationella funktion $f(x)$ som har egenskapen att
$\cot^{2}\left(t\right) = f( \sin\left(t\right))$.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 17

Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen

$\sin\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

i intervallet $[0,2\pi[$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`

---

## Problem 18

Lös ekvationen

$\ln 5 x +\ln 9 x=\ln 10 x$

**Lösning:**

>
>
>
>

$x=$`[svar 1]`

---

## Problem 19

Bestäm alla icke-negativa lösningar till ekvationen

$\sqrt{4^x}=4^{9\sqrt{x}}$. Placera svaren i växande ordning.

**Lösning:**

>
>
>
>

$x=$`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`

---

## Problem 20

Lös ekvationen

${}^3\log x + {}^3\log 8 =5$

**Lösning:**

>
>
>
>

$x=$`[svar 1]`

---

## Problem 21

Beräkna summan ${}^{4} \log (16^{2})+1296^{ {}^{6} \log (5)}$. Svaret får inte innehålla logaritmer.

**Lösning:**

>
>
>
>

$S =$ `[svar 1]`

---

## Problem 22

Vilket är det minsta heltal som är större än $7\ln(\sqrt{e})$?

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 23

Beräkna $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)+\arctan\left(\frac{1}{7}\right)$. Svaret får innehålla rötter men inte trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 24

$\newcommand{\arccot}{\text{arccot}}$

Beräkna $\sin\left(\arccos\left(\frac{1}{5}\right)\right)$. Svaret får innehålla rötter men inte trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`

---

## Problem 25

$\newcommand{\arccot}{\text{arccot}}$

Beräkna $\arccos\left(-1\right)$. Svaret får inte innehålla trigonometriska funktioner.

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`