# Seminarieuppgifter 3 — Diskret matematik, del 2

*Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026*

---

## Problem 1

Beräkna det komplexa talet $\frac{2+4 i}{-5+5 i}$ på formen $a+ib$ där $a$ och $b$ är i maximalt förkortad form och

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

$b =$ `[svar 2]`

---

## Problem 2

Beräkna beloppet $|z|$ av det komplexa talet $z=(8+8 i)(-7+6 i)(9+5 i)(-5+6 i)$

**Lösning:**

>
>
>
>

$|z| =$ `[svar 1]`

---

## Problem 3

Beräkna beloppet $|z|$ av det komplexa talet $z=\frac{(1+10 i)(-7+3 i)}{(3+2 i)(7+4 i)}$

**Lösning:**

>
>
>
>

$|z| =$ `[svar 1]`

---

## Problem 4

Beräkna det komplexa konjugatet $\overline{z}$ av det komplexa talet $z=(1+4 i)(-7+2 i)$. Ange svaret på formen $a+ib$ där

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

$b =$ `[svar 2]`

---

## Problem 5

Beräkna det komplexa talet $(6+7 i)(1+12 i)+(1+4 i)(1+4 i)$ på formen $a+ib$ där

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

$b =$ `[svar 2]`

---

## Problem 6

Skriv uttrycket $(1+4 i)^{3}$ på formen $a+bi$ där

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

$b =$ `[svar 2]`

---

## Problem 7

Lös ekvationen $z+ 6 \bar z = 5+5 i$. Lösningen ska vara på formen $a+bi$. Bråk ska ges i förkortad form.

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

$b =$ `[svar 2]`

---

## Problem 8

Bestäm det reella talet $a$ så att $\text{Re}\left(\frac{10-3i}{a+i}\right)=0$.

**Lösning:**

>
>
>
>

$a =$ `[svar 1]`

---

## Problem 9

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb C$.

$x^{3}-1=0$

**Lösning:**

>
>
>
>

Rötterna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c). Svaret får innehålla trigonometriska funktioner.

---

## Problem 10

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb C$.

$x^{4}+16i=0$

**Lösning:**

>
>
>
>

Rötterna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c). Svaret får innehålla trigonometriska funktioner.

---

## Problem 11

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb C$.

$x^{5}=3\sqrt{3}-3i$

**Lösning:**

>
>
>
>

Rötterna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c). Svaret får innehålla trigonometriska funktioner.

---

## Problem 12

Lös ekvationen för $z$ i $\mathbb C$.

$z^{2}-\left(6+6i\right)z - 1+18i=0$

**Lösning:**

>
>
>
>

Rötterna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

OBS: Dubbelrot skrivs två gånger

---

## Problem 13

Faktorisera följande polynom som en produkt av polynom vars koefficienter är heltal och vars koefficienter till högstagradstermerna är positiva.

$x^{2}+\left(-5\right)x-14$

**Lösning:**

>
>
>
>

Faktorerna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

Multipelfaktorer upprepas lika många gånger som deras multiplicitet t ex skriv $x+1$ två gånger om det är $(x+1)^2$.

---

## Problem 14

Faktorisera följande polynom som en produkt av polynom vars koefficienter är heltal och vars koeffic
ienter till högstagradstermerna är positiva.

$x^{4}-23x^{2}-50$

**Lösning:**

>
>
>
>

Faktorerna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

Multipelfaktorer upprepas lika många gånger som deras multiplicitet t ex skriv $x+1$ två gånger om det är $(x+1)^2$.

---

## Problem 15

Faktorisera följande polynom som en produkt av polynom vars koefficienter är heltal och vars koeffic
ienter till högstagradstermerna är positiva.

$3x^{6}+3x^{4}+x^{2}+1$

**Lösning:**

>
>
>
>

Faktorerna är:
`[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

Multipelfaktorer upprepas lika många gånger som deras multiplicitet t ex skriv $x+1$ två gånger om det är $(x+1)^2$.

---

## Problem 16

Bestäm kvoten $q(x)$ resten $r(x)$ så att

$x^{3}-\left(-1\right)=(x^{2}-\left(-2\right)x+1) q(x)+r(x)$.

**Lösning:**

>
>
>
>

$q(x)=$`[svar 1]`

$r(x)=$`[svar 2]`

---

## Problem 17

Polynomet $p(x)$ ger resten $1$ vid division med $x-1$ och resten $2$ vid division med $x-6$. Vilken blir resten $r(x)$ vid
division med $\left(x-1\right)\left(x-6\right)$?
(Svaret får innehålla algebraiska uttryck.)

**Lösning:**

>
>
>
>

$r(x)=$`[svar 1]`

---

## Problem 18

Vad blir resten om $x^{99}+2x^{98}-4x^{2}-7x+2$ delas med $x+2$?
(Oförenklade uttryck är tillåtna.)

**Lösning:**

>
>
>
>

$r(x)=$`[svar 1]`

---

## Problem 19

Faktorisera polynomet så långt som möjligt som en produkt av reella polynom vars högstagradsfaktorers koefficienter är 1.

$x^{8}+16$

**Lösning:**

>
>
>
>

Faktorerna är: `[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

Multipelfaktorer upprepas lika många gånger som deras multiplicitet t ex skriv $x+1$ två gånger om det är $(x+1)^2$.

---

## Problem 20

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb R$ :

$x^{4}-10x^{3}+20x^{2}+10x-21=0$

Placera svar i växande ordning:

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`$\le$`[svar 4]`

---

## Problem 21

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb R$ :

$x^{3}-12x^{2}+16x+88=0$

Placera svar i växande ordning:

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`

---

## Problem 22

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb C$ :

$x^{3}-6x^{2}+37x-58=0$

**Lösning:**

>
>
>
>

Svar: `[svar 1]`

Skriv svaren i en kommaseparerad lista (t ex: a,b,c).

---

## Problem 23

Lös ekvationen för $x$ i $\mathbb R$ :

$x^{3}-9x^{2}+14x+24=0$

Placera svar i växande ordning:

**Lösning:**

>
>
>
>

`[svar 1]`$\le$`[svar 2]`$\le$`[svar 3]`