# Seminarieuppgifter 7 — Linjär algebra, del 1 *Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026* --- ## Problem 1 Låt $A= \left[\begin{array}{rrr} 3 &-4 &-3\cr -2 &-4 &-4\cr -4 &-4 &2 \end{array}\right]\;$ och $\; B=\left[\begin{array}{rr} 1 &-5\cr -1 &-4\cr -1 &-3 \end{array}\right]$ Beräkna **Lösning:** > > > > $AB =$ $\left[\begin{array}{cc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ --- ## Problem 2 Givet att $u = \left[\begin{array}{c} -4\cr 2\cr -3 \end{array}\right]$. **Lösning:** > > > > Beräkna $uu^t = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ och $u^tu$= `[svar 2]` --- ## Problem 3 För matrisen $$A = \left[\begin{array}{ccc} 3 &a &-5\cr 3 &3 &3\cr 9 &a^{2} &25\cr \end{array}\right]$$ finn alla värden på $a$ så att $\det(A) = 0$. **Lösning:** > > > > $a$ kan vara `[svar 1]` eller `[svar 2]` eller `[svar 3]`. Lämna överflödiga svarsrutorna tomma. --- ## Problem 4 Om $A$ och $B$ är $3 \times 3$-matriser, $\det \, (A)=5$, $\det \, (B)=3$, då är **Lösning:** > > > > $\det \, (AB) =$ `[svar 1]`, $\det \, (-2 A) =$ `[svar 2]`, $\det \, (A^{T}) =$ `[svar 3]`, $\det \, ((B^{6})^{-1}) =$ `[svar 4]`, $\det \, (B^{10}) =$ `[svar 5]`. --- ## Problem 5 Lös ekvationssystemet $\begin{array}{rrrrrrrr} x_1 & - 2 x_2 & + 2 x_3 & & - 4 x_5 & + 5 x_6 & = & 1 \\ & & & - x_4 & - 4 x_5 & + 2 x_6 & = & -5 \\ x_1 & - 2 x_2 & & & + 6 x_5 & - 9 x_6 & = & 1 \\ & & 2 x_3 & - x_4 & - 14 x_5 & + 16 x_6 & = & -5 \end{array}$ **Lösning:** > > > > $\left[\begin{array}{c}x_{1}\cr x_{2}\cr x_{3}\cr x_{4}\cr x_{5}\cr x_{6}\cr\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] s + \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] t + \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] u$. --- ## Problem 6 Lös ekvationssystemet $\begin{matrix} -4 x+ 9 y - 3 z&= -13\\-8 x+ 18 y - 6 z&= -26\end{matrix}$ **Lösning:** > > > > $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\ \end{bmatrix} = \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] s + \left[\begin{array}{c}\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}\end{array}\right] t$. --- ## Problem 7 Bestäm lösningen till ekvationssystemet $\begin{matrix} x&-y&+z&=&4\\ 3x&+5y&-z&=&0\\ 2x&-y&-3z&=&2 \end{matrix}$ **Lösning:** > > > > $x =$ `[svar 1]` , $y =$ `[svar 2]`, $z =$ `[svar 3]`. --- ## Problem 8 Bestäm ett polynom $f(x)$ av grad tre så att $f(0)=2,f(-1)=2,f(-3)=32,f(3)=-10$. **Lösning:** > > > > $f(x)=$ `[svar 1]` $x^3+$ `[svar 2]` $x^2+$ `[svar 3]` $x+$ `[svar 4]`. --- ## Problem 9 Avgör om följande ekvationssystem har en entydig lösning, oändligt många lösningar, eller inga lösningar. - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrrrr}24x&+&24y&-&18z&=&6\\8x&+&8y&-&6z&=&2\\\end{array}$ - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrrrr}24x&+&24y&-&18z&=&6\\8x&+&8y&-&6z&=&3\\\end{array}$ - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrrrr}3x&+&4y&+&5z&=&2\\5x&+&5y&+&4z&=&1\\\end{array}$ **Lösning:** > > > > --- ## Problem 10 Avgör om var och en av följande ekvationssystem har en entydig lösning, oändligt många lösningar, eller inga lösningar. - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrr}-8x&-&8y&=&0\\-4x&-&4y&=&0\\12x&+&12y&=&0\\\end{array}$ - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrr}-5x&-&5y&=&3\\-6x&-&5y&=&2\\7x&+&5y&=&-1\\\end{array}$ - Oändligt många lösningar - Inga lösningar - Entydig lösning $\begin{array}{rrrrr}-5x&-&5y&=&3\\-6x&-&5y&=&2\\7x&+&5y&=&0\\\end{array}$ **Lösning:** > > > > --- ## Problem 11 Bestäm $h$ så att det linjära systemet $Ax=b$ har oändligt många lösningar, där $A=\begin{bmatrix} 16 & h\\4& -2\end{bmatrix}$ och $b=\begin{bmatrix}12\\3\end{bmatrix}$. **Lösning:** > > > > $h=$ `[svar 1]` --- ## Problem 12 Bestäm inversen till matrisen $A= \left[\begin{array}{rrr} 1 &1 &2\cr -1 &-2 &-3\cr 0 &1 &2 \end{array}\right]$ **Lösning:** > > > > $A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ --- ## Problem 13 Lös för $X$. $\left[\begin{array}{rr} 9 &3\cr 8 &7 \end{array}\right]X +\left[\begin{array}{rr} -3 &8\cr -6 &7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} -3 &-7\cr 8 &7 \end{array}\right]$ **Lösning:** > > > > $X= \left[\begin{array}{cc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$