# Seminarieuppgifter 8 — Analys 2, en variabel

*Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026*

---

## Problem 1

Bestäm största och minsta värde för funktionen $\frac{1}{2}x^3-|1-4x|$ på intervallet $[0,2]$. Ange hur många lokala maxima och minima funktionen har i intervallet (glöm inte intervallets ändpunkter).

**Lösning:**

>
>
>
>

Största värde = `[svar 1]`

Minsta värde = `[svar 2]`

Antalet lokala maxima: `[svar 3]`

Antalet lokala minima: `[svar 4]`

---

## Problem 2

Vilket är det största värdet på konstanten $a$ för vilket ekvationen $\arctan x +\ln x-\frac32 x=a$ har en reell lösning? Svara med Inf för $\infty$ om ekvationen är lösbar för alla värden på $a$. Ange även ändpunkterna för det intervall där funktionen i vänsterledet är växande.

**Lösning:**

>
>
>
>

SVAR: $\max a=$ `[svar 1]`.

SVAR: Ändpunkter: `[svar 2]`. Ange ditt svar som en lista enligt $1,2,3,...$.

---

## Problem 3

Vilket är det minsta värde på $a$ för vilket olikheten
$2 \ln x -4 x^2\le 2 x +a$ är uppfylld för alla $x>0$?

**Lösning:**

>
>
>
>

SVAR: Det minsta möjliga värdet på $a$ är `[svar 1]`

---

## Problem 4

Betrakta mängden av alla trianglar vars sidor utgörs av $x$- och $y$-axlarna samt tangenter till kurvan $e^{-7 x}$, $x>0$. Beräkna den maximala area som en sådan triangel kan ha.

**Lösning:**

>
>
>
>

SVAR: Det största möjliga värdet på arean är `[svar 1]`

---

## Problem 5

Beräkna MacLaurin-polynomet av grad 3 till funktionen
$\cos(\ln (1+3 x-2 x^2))$ .

**Lösning:**

>
>
>
>

Polynomet är `[svar 1]` $+$ `[svar 2]` $x+$ `[svar 3]` $x^2 +$ `[svar 4]` $x^3$.

---

## Problem 6

Beräkna gränsvärdet

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin (9 x) -6 \sin x +\arctan (-3 x)}{x(\cos (2 x) -1)}$.

**Lösning:**

>
>
>
>

Limes $=$ `[svar 1]`

Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\rightarrow 0} \left( \frac{1}{\sin^2(8 x)}-\frac{1}{64 \sin^2x} \right)$.

Limes $=$ `[svar 2]`

---

## Problem 7

Beräkna $f^{(31)}(0)$ om $f(x)= x^2 \sin(8 x)$. Det går bra att svara med numeriska uttryck som inte är uträknade, t ex $17!\cdot 13^{19}$.

**Lösning:**

>
>
>
>

$f^{(31)}(0) =$ `[svar 1]`

---

## Problem 8

Låt $f(x)=\cos(4 x)+\ln(1+4 x)-1$. Då är $f(x)$ strängt växande på en omgivning av origo och vi kan därför (på denna omgivning) definiera inversen $f^{-1}(y)$.
Beräkna MacLaurin-polynomet av grad 2 till $f^{-1}(y)$.

**Lösning:**

>
>
>
>

Polynomet är
`[svar 1]` $+$ `[svar 2]` $y+$ `[svar 3]` $y^2$.

- SVÅRARE UPPGIFT, kommer ej som bonusuppgift på tentan -

---

## Problem 9

Bestäm en primitiv funktion till funktionen $f(x) = \frac{1}{\sin(2 x)}$

**Lösning:**

>
>
>
>

$F(x) =$ `[svar 1]`

---

## Problem 10

Bestäm en primitiv funktion till funktionen $f(x) = \frac{1}{\cos(5 x)}$

**Lösning:**

>
>
>
>

$F(x) =$ `[svar 1]`

---

## Problem 11

Bestäm en primitiv funktion till funktionen $f(x) = \sin^{3}x$

**Lösning:**

>
>
>
>

$F(x) =$ `[svar 1]`

---

## Problem 12

Beräkna arean av den rotationsyta som uppstår när kurvan $y= \frac{x^{2}}{24},\; 0 \le y \le 18$,

får rotera runt $y$-axeln.

**Lösning:**

>
>
>
>

$A =$ `[svar 1]`

---

## Problem 13

Beräkna längden av kurvan $y= x^2/24-3 \ln x,\; 3 \le x \le 3 e$.

**Lösning:**

>
>
>
>

$L =$ `[svar 1]`

---

## Problem 14

Beräkna volymerna av de rotationskroppar som uppstår när det område $D$ i $xy$-planet som begränsas av $x$-axeln och kurvan $y= 3x-x^{2}$,
får rotera runt $x$- respektive $y$-axlarna.

**Lösning:**

>
>
>
>

$V_x =$ `[svar 1]`

$V_y =$ `[svar 2]`