# Seminarieuppgifter 11 — Linjär algebra, del 3 *Matematik I — Seminariekursen på distans, HT 2026* --- ## Problem 1 Från punkten $P= (2,\ -3, \ 1)$ dras normalerna till de båda planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ som har ekvationerna $x - y + 5 z=4$ och $y - 2z =9$. Ett plan $\Pi_3$ innehåller de båda normalerna. Bestäm skärningspunkten mellan $\Pi_1$, $\Pi_2$ och $\Pi_3$. (ON-system.) **Lösning:** > > > > Svar: Skärningspunkten är (`[svar 1]`, `[svar 2]`,`[svar 3]`). --- ## Problem 2 Låt $R$ vara vridningen $\frac{\pi}{12}$ runt $x$-axeln (moturs i det positivt orienterade ON-systemet). (a) Bestäm avbildningsmatrisen $A$ för $R$. (b) Bestäm $A^{24}$ **Lösning:** > > > > Matrisen $A = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ Matrisen $A^{24} = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ - SVÅRARE UPPGIFT, kommer ej som bonusuppgift på tentan - --- ## Problem 3 Låt $V$ vara mängden av alla vektorer i rummet, låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en positivt orienterad ON-bas i rummet, sätt $\mathbf{a}=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3$, och definiera den linjära avbildningen $F$ på $V$ genom att sätta $F(\mathbf{v})=\mathbf{v}+(\mathbf{a}\times \mathbf{v})$ för alla $\mathbf{v}\in V$. Bestäm matrisen $A$ för $F$ i basen $\mathbf{e}$. Motivera också att det för varje given vektor $\mathbf{u}\in V$ finns en entydigt bestämd vektor $\mathbf{v}\in V$ sådan att $\mathbf{v}+(\mathbf{a}\times \mathbf{v})=\mathbf{u}.$ Bestäm också denna entydigt bestämda vektor $\mathbf{v}$ om $\mathbf{u}= 7 \cdot \mathbf{e}_1+ 6\cdot \mathbf{e}_2+ 6\cdot \mathbf{e}_3.$ **Lösning:** > > > > Matrisen $A = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ Den entydigt bestämda vektorn $\mathbf{v}=$ `[svar 2]` $\mathbf{e}_1$ + `[svar 3]`$\mathbf{e}_2$ + `[svar 4]` $\mathbf{e}_3.$ - SVÅRARE UPPGIFT, kommer ej som bonusuppgift på tentan - --- ## Problem 4 Bestäm matrisen $A$ för den linjära avbildning $T:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^3$ som definieras av att vektorn $u$ först avbildas på $v\times u$ där $v=(-9,2,9)$ och sedan speglas i planet $x=z$, (positivt orienterat ON-system). Bestäm också determinanten till $A$. **Lösning:** > > > > Matrisen $A = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ Determinanten av $A$ är lika med `[svar 2]`. --- ## Problem 5 Vi betraktar två speglingar i linjer i planet. Den första, $S_0$, är speglingen av planets punkter i $x$-axeln. Den andra, $S$, är speglingen av planets punkter i en linje som går genom origo och bildar vinkeln $\pi/18$ med $x$-axeln. Beräkna matrisen $A$ för $S_0$ och matrisen $B$ för $S$. (ON-system.) **Lösning:** > > > > Matrisen $A = \left[\begin{array}{cc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ Matrisen $B = \left[\begin{array}{cc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$ Kommuterar $S_0$ och $S$? Svar: `[svar 3]` (Svara med "JA" eller "NEJ".) - SVÅRARE UPPGIFT, kommer ej som bonusuppgift på tentan - --- ## Problem 6 Bestäm determinanten av matrisen för den linjära avbildning $F:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^3$ som definieras av att $F(v)$ bildas genom att först $v$ avbildas på $v \times u$, för vektorn $u = (3, 2, 9)$, sedan speglas denna kryssprodukt i planet $x +6 y + z = 0$, sedan projiceras denna spegelbild på planet $z = 7 y$, och till sist vrids denna projektion vinkeln $\pi/2$ runt linjen $x = 3y =6 z$ (Du kan själv bestämma åt vilket håll vridningen sker). (Positivt orienterat ON-system.) **Lösning:** > > > > Svar: Determinanten är lika med `[svar 1]`. --- ## Problem 7 Givet en bas $e_1, e_2$ i planet, definiera en linjär avbildning $F$ av planet på sig själv genom villkoren $F(e_1)=2 \cdot e_1+e_2$ och $F(e_2)=e_2$. Definiera därefter en följd $u_1, u_2,u_3,...$ av vektorer i planet genom att sätta $u_1=3\cdot e_1+4 \cdot e_2$ och $u_{n+1}=F(u_n)$. Ange en formel för $u_n$ som funktion av $n$. **Lösning:** > > > > Svar: $u_n=$ `[svar 1]` $e_1$ + `[svar 2]`$e_2$. --- ## Problem 8 Bestäm matrisen $A$ för den linjära avbildning $T:{\mathbb R}^3\to {\mathbb R}^3$ som definieras av att man först speglar i planet $4 \cdot x_1 -1 \cdot x_2+4 \cdot x_3=0$ och sedan projicerar ner på planet $1 \cdot x_1 +1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3=0$. (Positivt orienterat ON-system) **Lösning:** > > > > $A = \left[\begin{array}{ccc}\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\cr \underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}&\underline{\phantom{xx}}\end{array}\right]$. --- ## Problem 9 Bestäm talen $a$, $b$ och $c$ i matrisen nedan sä att kolonnerna utgör en ON-bas. $$\frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 & 2 & 14 \\ 10 & -11 & a \\ 10 & b & c \\ \end{pmatrix}.$$ **Lösning:** > > > > Svar: $a =$ `[svar 1]` , $b =$ `[svar 2]` och $c =$ `[svar 3]`.